Resolving Zeno’s Paradoxes Based on the Theory of the “Linear Analytic Summation” and Evaluation of Evolution of Responsesa
Subject Areas : Geneology of philosophical schools and Ideas
Reza Shakeri
1
*
,
Ali Abedi Shahroodi
2
1 - PhD candidate of Islamic Philosophy, Baqir al-Olum University, Qom, Iran
2 - Master of Traditional and Rational Sciences, Qom Seminary, Qom, Iran
Keywords: Motion, Zeno’s paradoxes, theory of linear analytic summation, Aristotle, Kant, modern mathematics,
Abstract :
Zeno challenged the problem of motion following his master Parmenides and presented his criticisms of the theory of motion based on four arguments that in fact introduced the paradoxes of this theory. These paradoxes, which contradict an evident problem (motion), provoked some reactions. This paper initially refers to two of Zeno’s paradoxes and then presents the responses provided by some thinkers of different periods. In his response to Zeno’s paradoxes, Aristotle separated the actual and potential runs of motion and, following a mathematical approach, resorted to the concept of infinitely small sizes. Kant has also referred to this problem in his antinomies. Secondly, the authors explain the theory of linear analytic summation, which consists of two elements: 1) The distance between two points of transfer can be divided infinitely; however, the absolute value of the subsequent distance is always smaller than the absolute value of the previous distance; 2) since the infinitude of the division is of an analytic rather than a synthetic nature, the summation limit of these distances will be equal to the initial distance. Based on this theory, as motion is not free of direction and continuous limits, an integral limit of distance is traversed at each moment, and the analytic, successive, and infinite limits of distance are determined. The final section of this paper is intended to evaluate the responses given to the paradoxes.
آزبورن، کاترین (1389) فلسفۀ پیش سقراطی، ترجمه گلناز صالح کریمی، تهران: ماهی.
ابن‌باجه، محمدبن یحیی (1991م) شرح السماع الطبیعی، تحقيق ماجد فخری، بیروت: دارالنهار.
ارسطو (1378) سماع طبیعی (فیزیک)، ترجمه حسن لطفی، تهران: طرح نو.
ارسطو (2007م) الطبیعة، ترجمه اسحق بن حنین، محقق عبدالرحمن بدوی، قاهره: المرکز القوی للترجمة.
بغدادی، ابوالبرکات (1373) المعتبر فی الحکمة، اصفهان: دانشگاه اصفهان.
خامنه‌ای، سیدمحمد (1378) مقدمه بر المظاهر الالهیة، تهران: بنیاد حکمت اسلامي صدرا.
خراسانی، شرف‌الدین (1350) نخستین فیلسوفان یونانی، تهران: شرکت سهامی کتابهای جیبی.
راسل، برتراند (1388) تاریخ فلسفه غرب، ترجمه نجف دریابندری، نشر الکترونیکی.
زمخشری، محمودبن عمر (1386) مقدمة الادب، بهمت مهدی محقق، تهران: دانشگاه تهران.
طوسي، نصيرالدين (1433ق) تجريدالاعتقاد، بهمراه شرح علامه حلي، تحقيق حسن حسن‌زاده آملي، قم: نشر اسلامي.
عابدی شاهرودی، علی (1374) «حرکت و مسافت»، کیهان اندیشه، شمارة 64 ، ص88ـ 74.
فراهیدی، خلیل بن احمد (1425ق) ترتیب کتاب العین، تحقیق مهدی مخزومی و ابراهیم سامرایی، قم: اسوه.
کاپلستون، فردریک چارلز (1396) تاریخ فلسفه، ج1، ترجمه سیدجلال‌الدین مجتبوی، تهران: علمی و فرهنگی.
کانت، ایمانوئل (1388) سنجش خرد ناب، ترجمة میرشمس‌الدین ادیب سلطانی، تهران: امیرکبیر.
کانت، ایمانوئل (1389) نقد عقل محض، ترجمه بهروز نظری، کرمانشاه: باغ نی.
کرشنزو، لوچانو. د. (1377) فیلسوفان بزرگ یونان باستان، ترجمة عباس باقری، تهران: نی.
لاهیجی، عبدالرزاق (1388) شوارق الإلهام فی شرح تجرید الکلام، تحقیق اکبر اسدعلی‌زاده، قم: مؤسسة الإمام الصادق(ع).
لاهیجی، عبدالرزاق (1391) الکلمة الطیبة، تحقیق حمید عطایی نظری، تهران: مؤسسة حكمت و فلسفة ایران.
مصباح یزدی، محمدتقی (1370) آموزش فلسفه، تهران: سازمان تبلیغات اسلامی.
مطهری، مرتضی (1373) مقالات فلسفی، در مجموعۀ آثار، ج13، تهران: صدرا.
هالینگ دیل، ر.ج. (1375) مبانی و تاریخ فلسفه غرب، ترجمه عبدالحسین آذرنگ، تهران: کیهان.
حلّ پارادوکسهای زنون با نظریة «جمع تحلیلی خطی»
و سنجش تطور پاسخها
رضا شاکری1، علی عابدی شاهرودی2
چکیده
زنون بپیروی از استادش پارمنیدس، مسئلة حرکت را بچالش کشیده و در ضمن چهار استدلال، ايرادات خود را كه در واقع پارادوكسهاي اين نظريه بود، سامان داد. این پارادوکسها که انکار یک مسئلة بدیهی (یعنی حرکت) بشمار میرفت با واکنشهایی مواجه شدند. در این نوشتار نخست به دو مورد از پارادوکسهای زنون اشاره میشود، سپس پاسخهای برخی اندیشمندان از ادوار مختلف نقل میگردد. این پاسخها عبارتند از: پاسخ ارسطو که موقعیت بالفعل و بالقوة حرکت را از هم تفکیک نمود و پاسخ ریاضی که به مفهوم «اندازه‌های بینهایت کوچک» متوسل گردید. کانت نیز در آنتی‌نومیها به این مشکل اشاره کرده است. در ادامه نظریة «جمع تحلیلی خطی» تبيين ميشود. این نظریه از دو مؤلفه تشکیل شده است؛ 1) فاصلة بین دو نقطة انتقال، تا بینهایت قابل تقسیم است اما همواره قدر مطلق فاصلة پسین کوچکتر از قدر مطلق فاصلة پیشین است. 2) از آنجا که نامتناهی بودن تقسیم، تحلیلی است نه ترکیبی، حدّ جمع این فاصله‌ها نیز مساوی با فاصلة آغازین خواهد بود. براساس این نظریه، از آنرو که حرکت، تهی از راستا و حدود پیوسته نیست، در هر لحظه، انتگرال حدی مسافت پیموده میشود و حدود تحلیلی و متوالی و غیرمتناهی مسافت، استیفا میگردند. سنجش اين پاسخها نیز بخش دیگری از این نوشتار است.
کلیدواژگان: حرکت، پارادوکسهای زنون، نظریة «جمع تحلیلی خطی»، ارسطو، کانت، ریاضیات جدید.
* * *
مقدمه
یکی از معروفترین اختلاف‌نظرهایی که در تاریخ علم ثبت شده است، اختلاف بین پیروان هراکلیتوس و الئائیان میباشد. هراکلیتوس اشیاء را در حال دگرگونی دائم میدانست و معتقد بود: «ما نمیتوانیم دوبار در یک رودخانه داخل شویم» (راسل، 1388: 49). اما پارمنیدس ـ‌که پیشوای مکتب الئائی است‌ـ هستی را ثابت و تغییرناپذیر می‌انگاشت. بلکه
وی منکر امکان منطقی تغییر و حرکت بود... میگفت تنها میتوان از چیزی سخن گفت که هست نه از چیزی که نیست. پایة استدلال پارمنیدس همین مطلب است. ... حرکت نیز بهمین قیاس ناممکن است (هالینگ دیل، 1375: 79).
پارمنیدس عقیده داشت حقیقت (یا واحد یا خدا یا کلمه یا وجود) چیزی است یگانه، کامل، ساکن، بدون علّت (کرشنزو، 1377: 104).
زنون با احتجاجاتش کوشید موضع استاد را تثبیت نمايد و بر این نکته تمرکز یافت که اثبات كند مدّعای حرکت با چالش مواجه است. این کوششها نهایتاً به چهار استدلال که به «پارادوکسهای زنون» مشهور شد منتهی گردید و از آنرو که حرکت که یک مسئلة بدیهی و روزمره بود را بچالش میکشید، ریشخندها و اعتراضاتی را در پی داشت.
در این نوشتار چند پاسخ به اين ايرادات از دانشهای گوناگون در ادوار مختلف، مورد بررسی قرار میگیرد؛ این پاسخها عبارتند از: 1ـ ارسطو، 2ـ کانت، 3ـ ریاضیات جدید، 4ـ نظریة «جمع تحلیلی خطی» که محور تمركز این نوشتار است. این نظریه توانسته است راهکاری نوین و مستقل از پیشینيان برای حل این پارادوکسها ارائه کند و بر پایة همین، سایر پاسخها را نیز مورد سنجش و نقّادی قرار دهد. این دیدگاه با استفاده از برخی از مقالات صاحب نظریه (علی عابدی شاهرودی)، همراه با افزوده‌هایی که بر این نوشتار مرقوم کرده‌اند، تبيين میگردد.
پارادوکسهای زنون
زنون برای تشکیک در حرکت، چهار استدلال اقامه کرد. این نوشته به دو مورد از آنها ـ‌که گویی مشهورترند‌ـ بسنده ميکند.
استدلال اول؛ پارادوکس میدان مسابقه
این استدلال ـ بگزارش کاپلستون‌ـ بدین شرح است:
فرض کنیم که شما میخواهید از یک طرف ورزشگاه یا میدان مسابقه به طرف دیگر آن بروید. برای این کار باید بینهایت نقاط را طی کنید ـ یعنی بنا بر فرض فیثاغوریان‌ـ بعلاوه اگر میخواهید به طرف دیگر برسید باید آن را در زمان متناهی بپیمایید. اما چگونه میتوانید بینهایت نقاط، و بنابرین یک فاصلة نامتناهی را در یک زمان متناهی طی کنید؟ باید نتیجه بگیریم که شما نمیتوانید ورزشگاه را بپیمایید... در نتیجه هر حرکتی محال است (کاپلستون، 1396: 1/71).
این استدلال نخست سخن خود را با فرض حرکت آغاز کرده و در پایان، مخاطب را با امری محال مواجه مینماید. این یک قیاس استثنایی است که از راه بطلان تالی به بطلان مقدم رهنمون میشود:
مقدمة اول: اگر حرکت امری واقعی باشد (مقدم) هیچ مسافتِ محدودی را نمیتوان پیمود (تالی).
مقدمة دوم: لکن مسافتهای محدود، قابل پیمودنند.
نتیجه: پس حرکت درست نیست.
وی ملازمة بین مقدم و تالی را چنین برقرار میکند که اگر سپری کردن مسافتها از طریق حرکت باشد، لازمه‌اش اینست كه پیش از رسیدن به مقصد، نقاط میانی طی شوند. مثلاً برای پیمودن مسافت AB، قبل از رسیدن به مقصد B میبایست نقطة C که بین مبدأ و مقصد است، پیموده شود و پیش از پیمایش نقطة C نیز میبایست نقطة D که بین مبدأ (A) وC قرار دارد طی شود. همچنین پیش ازD لازم است نقطة E که در میانة مبدأ و D است پیموده شود. این روند، عابر را با بینهایت نقطه مواجه میکند که لازم است برای رسیدن به مقصد آنها را بپیماید.
در این استدلال، زنون میگوید فرض حرکت این بن‌بست را در پی دارد که نامتناهی در متناهی گنجانده شود؛ گنجاندن بینهایت نقطه در یک مسیر محدود. همچنین گنجاندن مسافت بیپایان در زمان محدود. روشن است که هر دوي اين موارد باطل میباشد.
استدلال دوم؛ پارادوکس آشیل و لاک‌پشت
کاپلستون در تقریر استدلال دوم زنون میگوید:
فرض کنیم که آخیلس [آشیل] و یک سنگ‌پشت [لاک‌پشت] مسابقة دو میدهند. چون آخیلس ورزشکار است اجازه ميدهد که سنگ‌پشت حرکت را آغاز کند. حال، در زمانی که آخیلس به مکانی میرسد که سنگ‌پشت از آن حرکت را آغاز کرده است، سنگ‌پشت دوباره به نقطة دیگری پیش رفته است؛ و وقتی آخیلس به آن نقطه میرسد آنگاه سنگ‌پشت باز هم فاصلة دیگری را، ولو خیلی کوتاه، پیش رفته است. بدین سان آخیلس همواره به سنگ‌پشت نزدیکتر میشود اما هیچگاه عملاً نمیتواند به آن برسد و هرگز نمیتواند چنین کند؛ بنا بر این فرض که یک خط از شماری نامتناهی از نقاط ساخته شده است، زیرا در آن صورت آخیلس باید یک فاصلة نامتناهی را طی کند. پس بنا بر فرض فیثاغوریان... اگرچه آنان ادعای واقعیت حرکت را داشتند، بنا بر نظریة خودشان، آن را غیرممکن میسازند، زیرا نتیجه میشود که کندروتر بسرعت تندروتر حرکت میکند (همان: 72).
مطابق این استدلال، آخیلس، تیزپاترین مرد یونان، هرگز نمیتواند از یک لاک‌پشت که به کندروی مشهور است پیش افتد؛ چون نخست دوندة تیزپا میبایست به نقطه‌يی برسد که لاک‌پشت از آن نقطه حرکت خود را شروع کرده است. آنگاه پس از آنکه آخیلس به نقطة شروع لاک‌پشت رسید، لاک‌پشت مقداری مسافت را پیموده و جلوتر رفته است و هرگاه دونده بخواهد به نقطه‌يی که اکنون لاک‌پشت در آن بسر میبرد برسد، لاک‌پشت باز هم مقداری پیش رفته است و این روند تا بینهایت ادامه پيدا ميكند (خراسانی، 1350: 322).
استدلال دوم، در قالب قیاس استثنایی اینچنین است:
مقدمة اول: اگر حرکت امری واقعی باشد (مقدم) لازم می‌آید هیچگاه تندرو به کندرو نرسد (تالی).
مقدمة دوم: لکن روشن است که تندرو به کندرو میرسد (بلکه از او جلو هم میزند).
نتیجه: پس حرکت درست نیست.
در این استدلال نیز ملازمة بین مقدم و تالی تابع بینهایت بودن نقاط مسافت است. چون دوندة تیزپایی مثل آشیل، هر چند از تندرويی و چالاکی خود بهره میبرد لکن همواره در گرداب نقاط بيپایان گرفتار است و مسافت که از نقاط بیپایان تشکیل شده است، چالاکی و تیزپایی او را مقهور خود میسازد. زنون میگوید در واقع این گرفتاری ناشی از ماهیت حرکت است که پیروان هراکلیتوس آن را باور دارند و تنها با دست کشیدن از فرضیة حرکت میتوان فرض کرد آشیل به لاک‌پشت برسد، چون اگر طی مسافت لاک‌پشت و آشیل را از سنخ حرکت ندانیم به این محذورات مبتلا نمیشویم. پس آنچه ما از حرکت و کثرت «حس میکنیم یک توهم است» (کاپلستون، 1396: 1/ 73).
پارادوکس دوم دشوارتر از اولي است، چون اگر لاک‌پشت بیحرکت میبود نیز هرگز آشیل ـ‌باقتضای پارادوکس اول‌ـ به لاک‌پشت نمیرسید، چه رسد به اینکه لاک‌پشت ـ باقتضای پارادوکس دوم‌ـ متحرک باشد. بنابرین بر پارادوکس آشیل و لاک‌پشت دشواری بیشتری حاکم است.
اعتراضات زنون در این گزاره قابل تلخیص است: قبولِ حرکت بعنوان توجیه‌کنندة وقایع هستی، ما را به پارادوکسهای خنده‌آور میکشاند؛ چون اگر فرض کنیم وقایع زندگی برپایة حرکت پیش میروند، لازمه‌اش اینست که هیچکس نتواند از نقطه‌يی به نقطة دیگر برسد، یا هیچ تندرویی نتواند از هیچ کندرویی عبور کند، و هر دو مورد، آشکارا باطل است.
نظریة «جمع تحلیلي خطّی»
«جمع تحلیلي خطّی» نظریه‌يي است که صاحب نظریه آن را بدنبال تعریف حرکت، موسوم به «تعریف جامع حرکت» آورده است. تعریف جامع حرکت ـ‌که صاحب نظریه به آن رسیده است‌ـ میگوید:
حرکت عبارتست از انتقال الف از موقعیت صفر به موقعیتهای یک، دو، سه و همچنین تا آنجا که حرکت فرض شود، بگونه‌يی که همة نقطه‌های یک، دو و سه و جز اینها، مسافت الف باشند و الف آنها را بپیماید و نیز بگونه‌يی که از هر نقطه مسافت تا هر نقطة دیگر، بینهایت نقطه مفروض باشد که بین هر دو نقطه از آنها نقطه‌های بیپایان مفروض گردد (عابدی شاهرودی، 1374: 78).
این نقطه‌های بیپایان که هر دو نقطه از آنها یک بازه را نشان میدهد، دارای دو شرط اساسیند که اگر در نظر گرفته نشوند، نه حرکت قابل تصور است و نه مسافت و زمان. حرکت، مسافت، زمان، فضا و خط پیوسته‌های خطیند که این دو شرط در نقاط بيپایانشان وجود دارند.
شرط نخست
بین هر دو نقطة انتقال، حتی بین صفر و یک، بینهایت فاصله وجود دارد که تا بیپایان، در هر فاصله‌يی، فاصله‌های نامتناهی هستند. اما قدر مطلق هر رده‌يی از فاصله‌های پسین کمتر است از قدر مطلق هر رده‌يی از فاصله‌های پیشین... بین هر دو مقطع مسافت، بر طبق تحلیل مابعدالطبیعی و ریاضی بینهایت فاصله هست. این فاصله‌ها هرچه پیشتر رویم کوچکتر میشوند (همانجا).
بر اساس شرط نخست، هر فاصله یا بازه‌يی که بین دو نقطه قرار میگیرد قابل تحلیل به فواصل دیگر است. مثلاً پاره خط «AB» قابل تحلیل به «AC» و «BC» است؛ مانند شکل زیر:
آنگاه «BC» را نیز میتوان به دو فاصلة دیگر تحلیل کرد و همین روند را تا بینهایت ادامه داد. اما هر چه این روند ادامه یابد، فاصلة جدید کوچکتر میگردد و همواره قدر مطلق فاصلة مقسم (مثلاً «AB») بزرگتر از قدر مطلق اقسام («AC» و «BC») است. پس بازه‌ها و فاصله‌ها اگرچه تا بینهایت تحلیل و تقسیم شوند، همواره بزرگی فاصله‌های پیشین نسبت به فاصله‌های تحلیلی بعدی محفوظ میماند و روند تحلیل خللی در نظام بزرگی و کوچکی فاصله‌ها ایجاد نمیکند.
قانون مهمی که بر پیوسته‌های خطی حاکم است اینست که: پیوسته‌ها حدّ کاهشی ندارند و در فرایند تقسیمپذیری به حدّ صفر (= بیفاصلگی= بی‌امتدادی) نمیرسند. صاحب نظریه بر این قانون چنین استدلال کرده است:
اگر فرایند کاهشی تحلیل یک فاصله، به حد پایانی (= صفر) بینجامد (مقدم) لازم می‌آورد که آن فاصله برآمده از صفرها باشد (تالی) لکن هیچ فاصله‌يي از صفر برنمی‌آید. نتیجه اینکه: فرایند کاهشی به حد پایانی (= صفر) نمی‌انجامد.
دلیل بطلان تالی اینست که صفر اگرچه بینهایت باشد، فاقد تأثیرگذاری است و تفاوتی بین یک صفر و بینهایت صفر وجود ندارد. چون فرض صفر فرض یک امر بی‌امتداد است و نمیشود از امر بی‌امتداد ـ هر چند بینهایت باشد‌ـ امتداد دربیاید (همان: 79).
این قانون تضمین کنندة پیوستگی خط است. بر این اساس پیوسته‌های خطی ـ‌که حدّ کاهشی ندارند‌ـ فاقد حد عدد گونه (= شماره‌وار=اسکالر) هستند، چون حدهای عددگونه در کمیّتهای منفصل که از اجزاء منقطع ترکیب شده‌اند جاری میباشد. بنابرین کمّیت متصل و پیوسته نخواهد بود.
شرط دوم
حدّ جمع پیوسته و تحلیلی همة پاره‌ها و فاصله‌های مندرج در یک پاره‌خط یا در یک قطعة حرکت و زمان، مساوی میباشد با خود آن پاره‌خط یا حرکت و زمان (همان: 80).
اگرچه یک خط تا بینهایت قابل انقسام باشد اما همواره حدّ جمع پاره‌ها و فاصله‌های مندرج در خط مساوی با خود خط است و از تجمیع این حدود بینهایت (بالقوه) تغییری در اندازة آن خط حاصل نمیشود؛ نه بزرگتر میشود و نه کوچکتر. بازة «AB» (در مثال گذشته) اگرچه با تحلیل عقلی، در داخل خود بینهایت عضو (= مسافتهای بیکران کوچک شونده) دارد، لکن این اعضاي بینهایت، نمیتوانند بازة اوّل (AB) را کوتاه و بلند کنند، چون این عدم تناهی ناشی از تحلیل عقل است که حکم میکند بازة اوّل (AB) میبایست از بازه‌هایی دیگر برآمده باشد، چراکه از امر بیبُعد، بُعد تشکیل نمیشود؛ چنانکه فیلسوفان به طرفداران اجزاء لایتجزا نیز چنین پاسخ گفته‌اند.
بر اساس شرط دوم، اگر بخواهیم این بازه‌های نامتناهی را یکجا جمع کنیم، این جمع برخاسته از قوّة تحلیلی عقل است و برهمین اساس این نظریه «جمع تحلیلی خطی» نام نهاده شده است. جمع تحلیلی در مقابل جمع ترکیبی است. در جمعهای ترکیبی تصاعد و افزایش روی میدهد، چنانکه جمع 1+3 یک جمع ترکیبی است و به افزودة 4 منتهی میشود. اما در اینجا که با جمع تحلیلی مواجهیم كه حاصل نهایی جمع اجزاء، چیزی بیش از حدّ آغازین نخواهد شد (همان: 81).
پاسخ نظریه به اشكالات زنون
تعریف جامع حرکت اگرچه با تعریفهای رایج، ازجمله تعریف ارسطو و ملاصدرا و تعریفي که در فیزیک مکانیک آمده است، همسویی دارد اما از دیدگاه صاحب نظریه مقوّمهایی در آن نهفته است که آن را از سایر تعریفها متفاوت میسازد. این مقوّمها عبارتند از:
1ـ حرکت از هرگونه که باشد استیفای تدریجی حدود تحلیلی غیرمتناهی در هر فراز از مسیر میباشد.
2ـ حرکت چونان حرکت، گسسته نیست و طفره (= جست) در آن تصوّر ندارد و حدود راه بروش پلّکانی پیموده نمیشوند.
3ـ مسیر بعنوان راه، یک موقعیت قارّالذات است و بعنوان راهه (= راه پیموده شونده) یک موقعیت سیّال (= غیر قارّالذات).
صاحب نظریه بر پایة تعریف جامع حرکت و مقوّمهای آن و دو شرط حاکم بر پیوسته‌های خطی، پارادوکسهای زنون را قابل پاسخ میداند. ولي این پاسخ نه بشیوة رفع بلکه بشیوة دفع میباشد. تفاوت رفع اشکال با دفع آن اینست: گاهی اشکال توانایی دارد در هیئت یک اشکال در‌آید و ميبایست پاسخ داده شود. در این حالت اشکال قابل رفع و حلّ است. اما گاهی پاسخ بگونه‌يی است که اشکال منعقد نمیشود و نمیتواند در هیئت یک مشکل بروز کند. در این حالت اشکال دفع و منحل میگردد.
پرسش اینست که این نظریه چگونه میتواند پارادوکسها را پاسخ گوید و ریشة اشکال را برطرف سازد؟
پارادوکسهای زنون را میتوان بر پایة نظریة «جمع تحلیلی خطی» در دو مرحله پاسخ گفت.
مرحلة اول: ناظر به پارادوکسهای زنون
پارادوکسهای زنون بر این پایه‌ها استوارند:
نخست: حرکت هرچه باشد، اگر امری واقعی باشد پدیده‌يی است گسسته؛ یعنی چیزی است مرکب از اجزاء، نه یک واحد بسیط متّصل. مسافتی هم که پیموده ميشود نيز مرکب از مسافتهای دیگر است که بطور گسسته از یکدیگر در مسافت بزرگتر گنجیده‌اند.
دوم: این اجزاء بی‌پایانند و یک مسافت هرچند از دو طرف محدود دیده شود، مرکب از بینهایت مسافت کوچکتر است.
سوم: اگر این قطعات بینهایت را (در هر مسافت و حرکتی) جمع نماییم، با یک بازة بینهایت مواجه خواهیم شد.
نتیجه: اینکه فرض حرکت، ما را با پارادوکسهایی این چنین مواجه میکند که یک مسافت کوتاه را نمیتوان پیمود و یک دوندة سریع هرگز به لاک‌پشت نخواهد رسید؛ درحالیکه میبینیم مسافتها سپری میشوند و دونده‌ها از لاک‌پشتها جلو میزنند.
پاسخ نظریة «جمع تحلیلی خطی» به پارادوکسهای زنون بدین شرح است:
پاسخ به بخش اول: حرکت نه یک حقیقت گسسته بلکه یک واقعیت پیوسته است؛ چنانکه در شرط نخست گذشت.
جسمِ مسیر چه متصل باشد چه منفصل خود مسیر چونان راهه یا مسافت متصل (=پیوسته) است. زمان نیز بر حسب چیستی خود یک پیوستار است و فرض ترکیب آن از آنات گسسته از هم، مستلزم تناقض است، زیرا در این فرض، آنات زمان به رویدادهای زمانمند تبدیل میشوند و زمان ترکیب شده از آنات نیز زمانمند میشود و چیستی زمان را از دست میدهد (همانجا).
بنابرین اموری همچون زمان، حرکت و مسافت خط‌گونه‌اند نه ذره‌گونه و بهمین جهت در این نظریه، به آنها پیوسته‌های خطی گفته میشود.
پاسخ به بخش دوم: بطورکلی پیوسته‌های خطی (زمان، مسافت و حرکت) قابل تحلیل و تنصیفند تا بیپایان؛ همچنانکه در توضیح شرط نخست گذشت. اما این تجزیه‌پذیری بینهایت نه تنها فرض حرکت را به تباهی نمیکشاند بلکه موجب تقویم آن است، زيرا عدم تناهی مسافتهای تحلیلی، مقوم اتصال حرکت است و اتصال بهمراه تدریج، بنیادهای حرکتند. حرکت (یا هر پیوستة خطی دیگر) از آنرو که امری پیوسته و متصل است، اگر در طرف کاهش تحلیلی به حدّ واحد صفرم برسد، پیوسته نخواهد بود، چون لازم می‌آید که فاصله از صفرها تشکیل شده باشد، درحالیکه از صفر ـ‌هر چند که بینهایت صفر هم باشند‌ـ هیچ امتدادی حاصل نمیشود.
برخلاف زنون که میگوید عدم تناهی مسافتها در داخلة هر مسافتی، مناقض حرکت است، نظریة «جمع تحلیلی خطی» میگوید این عدم تناهی قوامبخش اتصال حرکت است.
پاسخ به بخش سوم: در شرط دوم ملاحظه شد که جمع اجزاء مندرج در پیوسته‌های خطی، یک جمع تحلیلی است نه ترکیبی. پارادوکس زنون بر ترکیبی انگاشتن این جمع مبتني است. او میگوید: نه آشیل میتواند به لاک‌پشت برسد و نه ورزشکار میتواند از این طرف ورزشگاه به آن طرف برود، چون از ترکیب مسافتها و قطعات میانی که لازم است پیموده شوند، یک مسافت بینهایت پدیدار میشود. پس این یک جمع ترکیبی مانند جمع 2+1 است. درحالیکه «این قطعات بینهایت، برآمده از پسروی تحلیلی و کاهشی عقل است. در یک متر از مسیر بخشهای کوچکتر گنجیده‌اند از میلیمترها تا میکرومترها [به یونانی: μm] نانومترها [=nm] فرمومترها [=fm] سپس تا x متریهای متوالی و کاهش یابنده بی‌آنکه به x مترم صفر منتهی شوند».
در فرایند ترکیب، چیزی به چیزی افزوده میشود و هرچه این افزوده بزرگتر باشد نتیجه نیز بزرگتر خواهد بود. اما در فرایند تحلیل ما با یک واقعیت ثابت مواجهیم که تنها اجزائش کشف و استخراج میگردند نه به افزایش می‌انجامد و نه به کاهش، هر چند اجزائش تا بینهایت قابل استخراج باشند.
مرحلة دوم: ناظر به تفسیر «جمع تحلیلی خطی»
در این مرحله، با واکاوی جوانب نظریه، به تفسیری از حرکت میرسیم که امکان بروز پارادوکسها را فراهم نمیکند. از دیدگاه صاحب نظریه:
در تعریف جامع حرکت انتگرال حدّی نقاط مسیر وارد شده است. همچنین حرکت از حیث چیستی خود موازی زمان و موازی مسافت میباشد. حرکت تهی از راستا و حدود پیوسته و متوالی، شناسه ندارد. بر این پایه یکی از قوانین حرکت این خواهد بود: پیمودن انتگرال حدّی حدود مسافت در هر لحظه (همانجا).
حرکت هیچگاه فاقد مقصد نیست و همواره پیشروی دارد و از این حیث از گذشته به آینده میرود. بنابرین جدای از زمان نیست. همچنین حرکت حدود متّصل و پشت سر هم را طی میکند. با این وصف، حرکت، زمان و مسافت، چونان پیوستار در هم تنیده‌اند و حدود تحلیلی مسافت و زمان، استیفا ميشوند؛ نمیتوان فرض کرد یک قطعه از مسافت یا بازة کوچکی از زمان در مسیر حرکت، استیفا نشده باشد.
صاحب نظریه ميگوید: «مسافت [= راهه] بطور مستقل از اینکه اجسام و مقادیر آنها پیوسته‌اند یا گسسته، یک مسیر پیوسته (= تهی از طفره و گسست) میباشد. حرکت و زمان نیز تهی از طفره و گسست ميباشند» (همانجا). در هر مسیری جسمِ مسیر، یا متّصل فرض میشود ـ‌چنانکه فیلسوفان مشائی ازجمله ابن‌سینا بر این باور بوده‌اند‌ـ یا منفصل، که دیدگاه پیروان مکتب اتمیسم (=ذیمقراطیسیان) و پیروان نظریة اجزاء لایتجزا (=متکلمان) بود. شاید بتوان جسمِ مسیر را ـ‌مثلاً زمینی که اتومبیل در آن از نقطه‌يی به نقطة دیگر منتقل ميشود‌ـ منفصل و گسسته فرض کرد ولی خود مسیر بعنوان مسافتِ موازی با حرکت و زمان، یک امر پیوسته و بدون گسست است. حال که موجودیت زمان، حرکت و مسافت بدور از طفره است، نمیتوان آنها را دارای اجزاء فرض کرد؛ نه اجزاء بالفعل و نه اجزاء بالقوه. چون هر یک از این سه (مسافت، زمان و حرکت) یک واحد ممتدّ و پیوسته‌اند که بینشان اصل توازی حاکم است. اینکه گفته میشود حتی اجزاء بالقوه ندارند بدین سبب است که بدرستی پیوسته و متصلند. این پیوستگی و توازی موجب میشود متحرک بوسیلة حرکت همة حدود مسافت و زمان را استیفا کند و فروگذار کردن یک مقطع از مسافت و زمان ملازم است با از دست دادن همة مقاطع آنها. بنابرین در حرکت دو فرض برقرار است: یا همة مقاطع زمان و مسافت پیموده میشوند یا هیچکدام از آنها. از استیفای حدود حرکت در اصطلاح ریاضی به انتگرال حدّی نقاط هر فاصله تعبیر میشود.
از دیدگاه صاحب این نظریه: «اگر فرض شود فواصل حرکت بصورت بالفعل بینهایت باشند، باز هم در حرکت همة حدود و فواصل استیفا میشوند و جمع تحلیلی فواصل اگر کاهشی باشند، انتگرال این فواصل مساوی است با قدر مطلق مسیری که متحرک طی کرده است» (همانجا). در این نظریه اجزاء فاصله حتی اگر بفرض مُحال، بالفعل و نامتناهی باشند، باز هم با قدر مطلق فاصلة آغازین برابرند و بوسیلة حرکت همة اجزاء استیفا میشوند. این یکی از اصلیترین نقاط این نظریه است که موجب افتراق این پاسخ از سایر پاسخها میشود. صاحب نظریه نام این خصوصیت را «قانون محاسبة بینهایتهای تحلیلی» مینهد.
اشکال وارد بر دیدگاه زنون؛ لزوم طفره
طفره جزو مفاهیمی است که فیلسوفان آن را در شمار مُحالات ذاتیه آورده‌اند؛ چنانکه خواجه نصیرالدین طوسی در تجرید گفته است: «الضرورة قضت ببطلان الطفرة: بداهت عقل حکم میکند که طفره باطل است» (طوسی، 1433: 228). صاحب شوارق در توضیح طفره گفته است: «مقصود از طفره اینست که یک متحرک از نقطة الف مسافت به نقطة دال منتقل شود، بی‌آنکه نقطه‌های میانی را بپیماید» (لاهیجی، 1388: 3/ 105). در لغت نیز ریشة «ط ف ر» به جَستن و جهیدن معنی شده است (زمخشری، 1386: 90؛ فراهیدی، 1425: 2/ 1085). مقصود از جهیدن در اینجا، پرش از نقطه‌يی به نقطة دیگر است، بی‌آنکه فواصل میانی پیموده شوند. چنین فرضی در تصوّر به محال می‌انجامد. اگرچه زنون اسمی از طفره بمیان نیاورده است لکن برای توجیه دگرگونیها یکی از گریزگاه‌هایی که پیشروی خود دارد، همين طفره است که خود بن‌بستی گریزناپذیر است.
واکنشها به پارادوکسهای زنون
1ـ اشاره‌يی به سیر تاریخی واکنشها
زنون با انکار حرکت، خود را در برابر هجمه‌يی از پاسخها و واکنشها قرار داد. برخی از این واکنشها بیانگر تأثیرگذاری عمیق پارادوکسها در محافل علمی است: «دیو گِنِس فیلسوف مکتب سینیک (کلبی) به‌آسانی استدلالهای زنون بر ضد حرکت را نفی کرد و آن بدینسان بود که به آرامی برخاست و بی‌آنکه چیزی بگوید به اینسو و آنسو گام برداشت و حرکت را عملاً ثابت کرد» (خراسانی، 1350: 328).
ارسطو نيز پس از تقریر و شرح پارادوکسها، به آنها پاسخ گفته است. حنین‌بن‌اسحاق، مترجم مشهور نهضت ترجمه، کلام ارسطو را چنین ترجمه کرده است: «قال ارسطوطالیس: و حجج زینن فی‌الحرکة الّتی یعسر حلّها أربع» (ارسطو، 2007: 2/ 713). طبق این عبارت، ارسطو پارادوکسهای زنون را حجّت (=استدلال) مینامد و آنها را ادلّه‌يی که حلش دشوار است میخواند.
ابوالبرکات بغدادی میکوشد انکار حرکت را بدین وجه توجیه نماید: «گویا زنون ـ‌که مشهور شده منکر حرکت است‌ـ مقصودش اینست كه حرکت دربرگیرندة اجزائی است که به وجود واحد نمیتوانند محقق شوند، چون هر جزء از آن که معدوم شده است نمیتواند با جزئی که موجود است، جمع گردد» (بغدادی، 1373: 2/ 23).
ابن‌باجه، شارح طبیعیات ارسطو، میگوید: حرکت معنایی عقلانی دارد. بنابرین یا ممتنع‌الوجود است یا ضروری‌الوجود، یا ممکن‌الوجود. اگر ممتنع‌الوجود باشد میبایست همة اشیاء ساکن باشند. آنگاه میگوید: «و قد قال بهذا القول زینن و برمانیدس إلّا أن هذا القول منکر بنفسه و الحسّ یشهد بکذبه: زنون و پارمنيدس چنین گفته‌اند ـ‌که حرکت ممتنع‌الوجود است‌ـ لکن این سخنی است که بخودی خود باطل است و حس نیز به دروغ بودنش گواهی میدهد» (ابن‌باجه، 1991: 122).
فیلسوفان غرب نیز به پارادوکسهای زنون پرداخته‌اند. هیوم و برگسون را از این جمله شمرده‌اند. کانت نيز در مسائل جدلی‌الطرفین، پارادوکسها را به آنتی‌نومیها ملحق کرده است. گروه دیگري از دانشمندان که به پارادوکسها واکنش نشان داده‌اند، ریاضیدانان بودند که بر پایة پیشرفتهای حاصل شده در حسابان (=دیفرانسیل و انتگرال) استدلالهای زنون را پاسخ گفتند. در بخش بعدی مقاله پاسخ ارسطو، کانت و ریاضیدانها تحليل میشود.
باری! پارادوکسهای زنون در طول زمان مورد توجه دانشمندان بود. در دورة معاصر نيز توجه خاصی به آنها شده و دانشمندان درصدد تحلیل، توجیه یا پاسخگویی برآمده‌اند. استاد سیدمحمد خامنه‌ای در مقدمه بر المظاهر الإلهیه، پس از اشاره به اشکالات زنون بر حرکت و اینکه پارادوکسهایش «او را در تاریخ فلسفه زنده نگه داشته است» (خامنه‌ای، 1378: 96)، دیدگاههای برخی از محققان غربی را اشاره‌وار بیان میکند که بتلخیص چنین است: 1ـ انکار اصل حرکت هراکلیتوس؛ 2ـ ردّ نظریة فیثاغورث مبنی بر تشکیل اشیاء از بینهایت نقطة هندسی غیر متکمّم و تثبیت نظر پارمنيدس؛ 3ـ بیان تعارض احکام حسّ و عقل (همانجا). آنگاه نظر کسانی که زنون را منکر حرکت میپندارند را «نوعی ساده‌اندیشی و از روی تقلید کورکورانه از ارسطو» میداند و در توجیه پارادوکسها میگوید:
اولاً: از برهان خلف زنون ثابت میشود که انکار حرکت انکار واقعیت است... ثانیاً: بنظر میرسد وی میخواسته... اصالت حرکت قطعیه و انتزاعی بودن حرکت توسّطیه را... ثابت نماید. ... از اینرو زنون بپیروی از اساتید خود، نه فقط منکر حرکت متصل خارجی نیست بلکه آن را یک «واحد» بی‌اجزاء ميداند و با هراکلیتوس و حکمای ایونی که برای موجودات مادّی حرکت جوهری دائمی قائل بودند موافق است (همان: 97).
استاد مصباح یزدی بی‌آنکه اسمی از زنون ببرد، از وی بعنوان «کسانی که وجود خارجی حرکت را انکار کرده و آن را مفهومی ذهنی و حاکی از توالی سکونات انگاشته‌اند» یاد کرده است و آنگاه دو استدلال وی را نقل و سپس پاسخ ارسطو را نیز گزارش نمود و در مقام پاسخگویی به زنون، استدلال وی را پاسخ گفته است (مصباح یزدی، 1370: 2/289).
استاد مطهری در داوری بین ابوریحان بیرونی و ابن‌سینا که آیا جسم اجزاء نامتناهی بالفعل دارد یا خیر؟ و آیا این موجب میشود سریع به بطئ نرسد؟ اشاره میکند که این اندیشه «همانست که ارسطو در کتاب الطبیعة به زنون الیائی در اثبات نفی حرکت نسبت داده است. زنون به تقریبی شبیه آنچه در بیان ابوریحان آمده است استدلال کرده که اساساً تحقق حرکت محال است» (مطهری، 1373: 13/ 115). آنگاه فرض ارسطو و بتبع وی ابن‌سینا که گمان کرده‌اند لازمة ترکّب مسافت از اجزاء غیرمتناهی اینست که حرکت به مجموع وصولات تبدیل شود را نادرست میداند. در پایان با اشاره به سخن صدرالمتألهین در جلد دوم اسفار، ميگوید: «با بیان صدرا جواب زنون الیائی و هم جواب شبهه ابوریحان بنحوی دیگر که رساتر است و از تحلیل ماهیت حرکت ناشی میگردد، داده میشود» (همان: 118).
یکی دیگر از ديدگاههايي که به پاسخگویی پارادوکسها پرداخته، نظریة «جمع تحلیلی خطی» است که در همین مقاله به تحقیق رسید.
2ـ پاسخ ارسطو
در استدلالهای زنون، ما با مسافتهایی مواجهیم که دارای اجزاء و مقاطع بیشمارند و همین بیشماری (عدم تناهی) منشأ آنست که نتوان مسافتی را بپایان برد (: پارادوکس میدان مسابقه)، یا هیچ متحرک سریعی نتواند از متحرک کند جلو بزند (: پارادوکس آشیل). ارسطو در کتاب سماع طبیعی (فیزیک) میگوید:
هر مقدار، قابل تقسیم به مقادیر است، زیرا ثابت کردیم که شيء متصل، ممکن نیست مرکب از اجزاء قسمت‌ناپذير باشد و هر مقداری متصل است. پس بضرورت این نتیجه حاصل میشود که از دو شيء، آن که سریعتر است ـ بنا به تعریفی که از سریعتر میکنند‌ـ باید مقداری بزرگتر را در زمان برابر (= با شيء آهسته‌تر) طی کند و مقدار برابر را در زمان کمتر و مقدار بزرگتر را در زمان کمتر (ارسطو، 1378: 1/ 248).
در این بیان، دو نکته برجسته است:
1ـ هیچ مقداری (چه زمان و چه مسافت) مرکب از اجزاء قسمت‌ناپذیر نمیباشد. از گذشتة دور، این پرسش مطرح بوده که آیا جسم مرکب از اجزاء است یا چنین نیست؟ مقدار که عارض بر جسم است نیز با همین پرسش مواجه است. ذیمقراطیس (=دموکریتوس) جسم را مرکب از اجسام کوچکِ سخت (اجسام صغار صلبه) و متکلمان جسم را مرکب از اجزاء بیبُعد (جوهرهای فرد) در نظر میگرفتند. در این دو دیدگاه، جسم دارای اجزاء تقسیم‌ناپذیر بود. ارسطو بر خلاف ایشان میگوید: هیچ جسمی مرکب از اجزاء تقسیم‌ناپذیر نیست. بنابرین مقادیر که عارض بر اجسامند نیز دارای اجزاء تقسیم‌ناپذیر نیستند.
2ـ هر مقداری، متصل است. ارسطو باور دارد که جسم نه‌تنها از اجزاء تقسیم‌ناپذیر تشکیل نشده است بلکه اساساً مرکب از اجزاء (چه تقسیم‌پذیر و چه تقسیم‌ناپذیر) نیست؛ بر این اساس، هم جسم یک امر پیوسته و متصل است و هم مقادیر عارض بر آن. ارسطو با بیان اینکه جسم (یا مکان یا مسافت) متصل است، گام بلندی در پاسخگویی به استدلالهای زنون برداشت. چون نفی اجزاء در جسم و مقدار، نفی اجزاء در مسافت و زمان که جزو مقادیرند، را هم در پی دارد. ارسطو تفکیک بین زمان و مسافت را برمیدارد و معتقد است آنجا که زنون میگوید:
یک شیء ممکن نیست اجزاء نامتناهی را در زمان متناهی طی کند یا با آنها مماس گردد، بر مقدمة غلط استوار است، زیرا مقدار و زمان و بطور کلی هر شيء متصل، به دو معنی نامتناهی خوانده میشود: یا به این معنی که شيء متصل بطور نامتناهی قسمت‌پذیر است و یا بدین معنی که آن شيء از جهت نهایاتش نامتناهی است (همان: 251).
بنا بر معنی اول از نامتناهی، شیء متصل بصورت بالفعل متناهی است و بصورت بالقوه نامتناهی. در این فرض میتوان گفت «تقسیمهای نامتناهی درون کلی متناهی، آن کل را بزرگتر از آنچه بود نمیکند» (آزبورن، 1389: 86). اما طبق معنای دوم، شيء متصل بالفعل نامتناهی است، هرچند بظاهر متناهی بنظر آید. همة مقادیر از نظر ارسطو، چه زمان و چه امتدادهای جسمانی و مسافات، بالفعل متناهیند و بالقوه نامتناهی. از اينرو وقتی زنون میگوید لازمة حرکت گنجاندن مسیر نامتناهی در زمان متناهی است، پاسخ میدهد:
زمان نیز به این معنی اخیر نامتناهی است... پس نه طی نامتناهی ممکن است در زمان متناهی صورت بگیرد و نه طی متناهی در زمان نامتناهی. بلکه اگر زمان نامتناهی است مقدار نیز باید نامتناهی باشد و اگر مقدار نامتناهی است زمان نیز باید نامتناهی باشد (ارسطو، 1378: 1/ 252).
با این تحلیل، هم به استدلال اول پاسخ داده میشود و هم به استدلال دوم، چون با نفی اجزاء بالفعل در مسافت و در زمان، راهی برای فرض مسافتِ مرکب از اجزاء بیپایان باقی نمیماند و استدلال اول مندفع میشود. همچنین از آنرو که اجزاء بالفعل مسافت و زمان منتفی شدند، و متحرکِ سریعتر زمان کمتری را برای پیمودنِ مسیرِ برابر با متحرک کندتر نیاز دارد و بسادگی سریع، کند را پشت‌سر میگذارد، استدلال دوم هم از بین میرود.
نقد پاسخ ارسطو
نقد صاحب نظریة جمع تحليلي خطي بر پاسخ ارسطو این است: «اشکال زنون اگر بر اجزاء تحلیلی بیپایان بر پا شده باشد پاسخ ارسطو برای انحلال اشکال کفایت نمیکند. در این صورت اشکال زنون بر حرکت همچنان نیاز به پاسخ دارد» (عابدي شاهرودي، 1374). پاسخ ارسطو مبتنی بر تفکیک موقعیت بالفعل و بالقوه تقسیم است. وی میگوید: اجزاء مورد ادعای زنون، بالقوه‌اند نه بالفعل. حال اگر منکشف شود که زنون آگاهانه اجزاء را بالفعل میداند، پاسخ ارسطو کارآیی خود را از دست میدهد. افزون بر این، اگر اجزاء تحلیلی بالفعل بیپایان باشند اشکال را گسترده‌تر میکند: «گو اینکه این اشکال سراغ اشکال زنون نیز میرود و پارادوکس وی را به پارادوکسیکال تبدیل میکند، زیرا زمان نیز اجزاء تحلیلی نامتناهی دارد و از اینرو حتی گذرانیدن یک قطعة اندک زمان ـ‌یک ثانیه‌ـ نیاز به زمان نامتناهی دارد. بدینگونه پارادوکس گرفتار پارادوکس میگردد» (همانجا).
نظریة «جمع تحلیلي خطی» با فرض بالفعل دانستن اجزاء نیز کارآیی دارد و بشیوه‌يی دیگر بسراغ انحلال اشکال میرود. اگر اجزاء بالفعل باشند، نظر ارسطو نه تنها پاسخگوی مشکل حرکت نیست بلکه در مورد زمان نیز جاری نميباشد، چون اجزاء نامتناهی بالفعل ـ چه در مسافت باشند و چه در زمان ـ با مبنای ارسطو قابل سپری شدن نیستند و نه‌تنها پارادوکس برطرف نمیشود بلکه مضاعف میگردد. «راه حل این مشکل در قانون محاسبة نامتناهی تحلیلی گنجیده است. بر طبق این قانون حرکت، زمان و مسافت بطور موازی با یکدیگر منظور گردیده و محاسبه میشوند» (همانجا). در بخش تفسیر نظریه، این توضیح گذشت که توازی حاکم بر این سه متغیّر، موجب میگردد انفکاک وجودی از میان برخیزد و تنها استقلال ماهوی مفروض باشد.
3ـ پاسخ کانت
کانت در سنجش خرد ناب به قضایایی اشاره میکند که اگرچه متناقض بنظر میرسند لکن هر دو طرف تناقض، قابل استدلال است. وی این وضعیت را جدلی‌الطرفین، و در فلسفة خود آنتی‌نومیک مینامد، چرا که هر تزی با آنتیتز (=نهاد و برابر نهاد) مواجه میشود. مسائل جدلی‌الطرفین در منطق و فلسفه سابقة دیرین دارند. نمونة بارز این نوع مسائل، حدوث و قدوم عالم است که ارسطو آن را جدلی‌الطرفین خوانده است (لاهیجی، 1391: 162). دومین مسئله از چهار مسئله‌يی که کانت آنها را جزو آنتی‌نومیها میخواند، این است: آیا میشود یک ماده از ذرات کوچک و تقسیم‌ناپذیر تشکیل شود؟ پاسخ به این سؤال چه منفی باشد و چه مثبت، موجّه است و هر دو طرف میتوانند برای مدّعای خود استدلال كنند. کانت پس از بررسی و تحلیل، میگوید: اینکه برخی مسائل به وضعیت جدلی‌الطرفین مبتلا میشوند بدین علّت است که عقل به ساحتهایی پا میگذارد که دست تجربه از آن ساحتها کوتاه است و این نوع مسائل را «ترانسندنت» مینامد. از آنرو که تجربه نمیتواند به ساحت عقل رود، حکم عقل و تجربه متفاوت (بلکه متناقض) میگردد. آنگاه استدلالهای زنون را مورد اشاره قرار داده و آنها را داخل در این وضعیت میداند. وی میگوید: زنون یک مناظره‌کنندة باریک‌بین است که افلاطون او را یک سوفسطایی گستاخ خطاب میکند. «زیرا او برای نشان دادن تز خود میکوشید تا گزارة واحدی را از راه استدلالهای ظاهری استوار کند و دوباره، در دم دیگر، آن را از راه استدلالهای دیگری بهمان نیرومندی، وازند» (کانت، 1388: 583). آنگاه در دفاع از او میگوید: «من ملاحظه نمیکنم که این اتهام بتواند بحق بدو داده شود» (همان: 584).
وی در ادامه به توضیح مسائل مذکور میپردازد و در مورد منشأ ابتلا به آنتی‌نومیها تصریح میکند:
بنابرین ناموسان پیکاری خرد ناب در مینوهای کیهان‌شناختی خود، بدین راه رفع میشود که نشان دهیم که صرفاً دویچمگویانه است و ستیزه‌يی ناشی از یک فرانمود. این فرانمود خود از اینجا برمیخیزد که مینوی تمامیت مطلق را که فقط چونان شرط شيء‌های فی‌نفسه معتبر است، بر پدیدارهایی اعمال کنیم که فقط در تصوّر وجود دارند1 (همان: 587).
بنظر کانت احکام جدلی‌الطرفین، دیالکتیکند و به تز و آنتیتز منتهی میشوند و بهمین سبب تناقض واقعی محسوب نمیشود. منشأ احکام تناقض‌نما اینست که یک واقعیت در دو ساحت دور از هم در نظر گرفته میشود. با این وصف پارادوکسهای زنون نیز متناقض‌نمایند نه متناقض.
نقد پاسخ کانت
کانت با گنجاندن نقاط بیپایان اندازه در آنتی‌نومیها، استدلالهای زنون را جزو رویدادهای جدلی‌الطرفین ميداند. به نظر وي هر دو طرف مدّعا قابل استدلال است و از این جهت چاره ندارد. «از دیدگاه کانت این قضایا از آن جهت که ترانسندنت میباشند و همة شرطها و مرزهای استعلایی تجربی ممکن را بدون روادید درنوردیده‌اند، جدلی‌الطرفین هستند و راه‌حل ندارند. دربارة پارادوکس زنون نیز همین دیدگاه را در نظر میگیرد» (عابدي شاهرودي، 1374). صاحب نظریة جمع تحليلي خطي، پس از تقریر دیدگاه کانت، نظر وی را اینگونه نقد میکند:
در این مسئله صرفنظر از نقد دیگر آنتی‌نومیها، نقد عمده بر نظریة کانت اینست که هر دو طرف قضیة جدلی در اجزاء مقادیر از دو طریق منتفی میشوند، زیرا شقّ سومی هست که منفصلة آنتی‌نومیک کانت را دچار انحلال میسازد و آن اینست که: اجزاء، مقادیر و مسافات، نه متناهی بالفعل هستند نه نامتناهی بالفعل. در هیچیک از دو موقعیت تناهی و عدم تناهی، نقطة صفرم وجود ندارد و متحرک مسیر را بی‌طفره و بی‌پیمودن نامتناهی در زمان متناهی خواهد پیمود (همانجا).
تفاوت دیدگاه کانت و نظریة «جمع تحلیلی خطّی» اینست که کانت هر دو طرف قضیه را موجّه میداند لکن این نظریه هر دو طرف را ناموجّه شمرده و شقّ سومی را درست میداند. بر پایة این نظریه مسافت حرکت بهیچ‌روی جزء ندارد و اینگونه پارادوکس منحل میشود. صاحب نظریه در مورد سه دیگر از آنتی‌نومیهای کانت نیز، با افزودن ضلع سوم به منفصله، به کانت پاسخ میگوید: دیگر آنتی‌نومیهای کانت نیز، بویژه آنتی‌نومیها و شرطها و مشروطهای متوالی، با انحلال منفصله به قضیة سومی میرسیم که میگوید: زنجیرة شرط و مشروطهای متوالی در هر دو صورت [=نهایت و بینهایت] به شرط و مشروط (مبدأ نخستین) منتهی میشود. تفصیل نقد بر مسائل جدلی‌الطرفین کانت در نوشته‌يی بموازات بیانات کانت آمده است (همانجا).
4. پاسخ بر مبنای ریاضیات جدید (مفهوم «کمّیتهای بینهایت کوچک»)
پس از آنکه ریاضیات در دو شاخة دیفرانسیل و انتگرال (=حسابان) به پیشرفتهای چشمگیری رسید ریاضیدانان دریافتند که میشود با استفاده از این پیشرفتها، بويژه حساب انتگرال، راه‌حلّی برای پارادوکسهای زنون در نظر گرفت. این راه حل بر پایة کمّیات بسیار کوچک که به صفر نزدیک میشوند (ولی صفر نیستند)، موسوم به «اندازه‌های بینهایت کوچک» (infinitesimals) شكل گرفته است. در ریاضیات جدید، نامتناهی بودن تقسیم مسافت یا زمان پذیرفته میشود لکن از آنرو که پیشروی تقسیم به منطقه‌يی میرسد که بسیار به صفر (یا هر مبدأ مفروض دیگر) نزدیک است میتوان همان را حدّ پایانی تقسیم محسوب کرد. این حد (limit) اگرچه برابر با صفر نیست اما از آنرو که به صفر میل کرده است، میتواند حدّ پایانی در نظر گرفته شود. فرایند حدگیری که در حساب دیفرانسیل با مبحث مشتق رخ میدهد و در نقطة مقابل با حساب انتگرال مجموع حدود را محاسبه میکند، امکان محاسبة مجموعه‌های نامتناهی را فراهم میسازد.
هیچیک از این نقاط تقسیم را نمیتوان واپسین نقطه شمرد بلکه تا بیپایان ادامه دارند و همواره نزدیک به مقصد در یکدیگر انبوه و بهم نزدیکتر میشوند. بدینسان انتقال بحدّی ممکن میشود که فاصله یا مسافت میان نقطه‌های واسط و بیپایان خط را در دست راست به صفر میرساند (خراسانی، 1350: 321 ـ320).
در این فرایند برغم بیشمار بودن نقاط، «حد» پایانی قابل فرض است.
ریاضیدانهای جدید پس از بهره بردن از حسابان، شیوه‌هایی را برای حلّ اشکالهای زنون آزموده‌اند اما گویی هنوز این مسئله در آغاز راه است و پارادوکسها توسط ریاضیدانان هنوز بخوبی پرداخت نشده‌اند، بهمین سبب جستجو در کتابهای ریاضی جدید برای یافتن حلّ پارادوکسها چندان نتیجه‌بخش نیست. یکی از کسانی که به تبیین دیدگاه ریاضیات جدید در حل پارادوکسهای زنون پرداخته، کاترین آزبورن است. وی میگوید: «در ریاضیات تکنیکهایی برای محاسبة مجموع یک زنجیرة نامتناهی وجود دارد» (آزبورن، 1389: 87) و پس از اشاره به ساده‌ترین برهان ریاضیدانها، اشاره میکند كه «اگر حساب حرکتها در این هندسه را جمع بزنیم متوجه میشویم که دونده در نهایت نه مسیری نامتناهی که مسیری متناهی را باید طی کند و تا زمانی که سرعتش ثابت باشد، همینطور که کارش کمتر و کمتر میشود، زمان انجام دادنش هم کوتاهتر و کوتاهتر میشود... پس ریاضیات میتواند با ارائه برهانی اثبات کند که انواع خاص از زنجیره‌های نامتناهی که به صفر میل میکنند، دارای مجموع متناهیند و مبنای پارادوکس زنون چنین زنجیره‌هایی است» (همان: 88). نتیجة کاوشهای ریاضی جدید بدین‌جا منتهی میشود که زنجیره‌های نامتناهی، محاسبه‌پذیرند و مجموع آن حدود، هم مسافتی محدود پدید می‌آورند و هم در زمان محدود قابل پیمایشند.
نقد پاسخ ریاضیات جدید
اول: اگرچه ریاضیات راهی برای محاسبة شیب خط در خطوط منحنی و بطورکلی راهی برای محاسبة زنجیره‌های نامتناهی پیشنهاد کرده است اما اشکال زنون بر نقاط بیپایان حقیقی تکیه دارد. بنابرین «از آنرو که طفره محال است میبایست نقاط بیپایان پیموده شود». صرفنظر کردن از حدود بسیار ریز که به صفر میل میکنند، راه را برای نپیمودنشان هموار نمیسازد، چون امتناع طفره هیچ حدّی را فروگذار نمیکند. اگر تنها یک حدّ که به صفر بسیار نزدیک باشد پیموده نشود، موجب جهش یا طفره خواهد شد، چون «حد تابع ریاضیاتی، بازه‌های زمان و مسافت و حرکت را تبدیل به صفر نمیکند».
دوم: راه‌حل ریاضیاتی از اصلِ تجربی استفاده کرده است درحالیکه برای برطرف کردن اشکال، اصلی پیش از تجربی بکار می‌آید. اگر اجزاء تحلیلی طول پاره‌خط AB نامتناهی باشد، پارادوکس، خود طول AB را نیز به طول نامتناهی تبدیل میکند. بدین سبب راه‌حل یادشده از اصل موضوع تجربی استفاده میکند. در تجربة آشیل دونده و تیر پرنده و ... واقعیت اینست که مجموع نقاط نامتناهی مساوی است با طول پاره خط AB. اما پارادوکس بر یک اصل پیش از تجربی استوار شده است و آن اینست: مسافت ترکیب شده از نقاط نامتناهی نیاز به زمان نامتناهی دارد. واقعیت تجربی بدون التفات به پارادوکسها حرکتها را سامان میدهد و طی مسافت را امکانپذیر میسازد. اما حل پارادوکس زنون و حل پارادوکس مضاعف از آن جهت که پیشین است، نیاز به راه‌حل پیشین دارد.
بنا بر نقد دوم، ریاضیات جدید بسراغ پارادوکسها نرفته است و با استفاده از یک اصل موضوع تجربی برخی مشکلات ریاضیاتی را حل کرده است، درحالیکه پارادوکسها بر اصل مابعدطبیعی استوارند. از اینرو لازم است با اصول پیش از تجربی انحلال یابند.
سوم: «بينهایتها فراگیر میباشند. حرکت، مسافت و زمان همه ذیل قانون یا قانونهای بینهایتها قرار دارند و اگر قانون محاسبات بینهایتهای تحلیلی اکتشاف نمیشد، پارادوکس زنون همچنان پابرجا میماند. با این وصف، گرچه از دیدگاه حساب ریاضی بدون قانون یادشده، پارادوکس زنون در حال حاضر راه‌حل ریاضی ندارد اما حکما از طریق مابعدالطبیعی، بطور پیشین (= پیش از تجربی) توانسته‌اند پارادوکس را دچار انحلال سازند» (عابدي شاهرودي، 1374). هرچیز که بینهایت باشد، محدود بهیچ حدّی نیست و هیچ بازدارندة حدّی یارای مقابله با آن را ندارد. بنابرین از آنرو که بینهایتها گسترده‌اند و پارادوکسها نیز ناظر به عدم تناهی نقاطند، راه‌حل ریاضی و امثال آن پاسخگوی آن نمیباشد. اما نظریة «جمع تحلیلی خطّی» همراه با تعریف جامع حرکت که ناظر به توازی حرکت، مسافت و زمان است، ـ‌با توضیحی که گذشت‌ـ توانسته است پاسخگوی اشکالات زنون باشد.
جمعبندی و نتیجه‌گیری
پارادوکسهای زنون، بخودی خود در تاریخ علم مشهورند و موجب زنده ماندن نام وي در محافل علمی شده‌اند. این اشکالات واکنشهای زیادی در پی داشته است. برخی وی را منکر حرکت و برخی دیگر موافق حرکت دانسته‌اند. نظریة «جمع تحلیلی خطی» بگونه‌يی متفاوت از دیگر پاسخها، پارادوکسها را به انحلال کشانیده است. با این حال، صاحب این نظریه دربارة اشکالات زنون میگوید: «شاید که زنون پارادوکسها را برای آزمون (= تست) انظار فلاسفه پرداخته باشد. این نیاز به بررسی تاریخی و تفسیری دارد. لازم است که در اینباره به مورخان فلسفه و طبیعیات مراجعه شود». از آنرو که اشکالات زنون توانسته‌اند چونان پارادوکس استقرار یابند، پاسخهای مطرح شده نیز مورد سنجشگری قرار گرفته‌اند. بدین‌جهت صاحب نظریه برخی از پاسخها را مورد نقد قرار داده و باور دارد تنها با قانون محاسبة نامتناهی تحلیلی که در نظریة «جمع تحلیلی خطی» منظور شده است، اشکال برطرف میگردد. این قانون بتلخیص چنین تقریر میشود:
حرکت هیچگاه تهی از راستا و حدود پیوسته و متوالی نمیباشد. بنابرین حرکت، زمان و مسافت موازی همند. از اینرو این سه موجودیتی پیوستارگونه دارند. پیوستار حرکت‌ـ‌زمان‌ـ‌مسافت نتایجی دارد؛ ازجمله اینکه: حرکت عبارتست از استیفای انتگرال حدّی حدود مسافت در هر لحظه چون زمان نیز داخل در پیوستار است و هر لحظه‌يی برآیند حدود درونی پیوستار است.
بنا بر توازی این سه، تمامیت حرکت با تمامیت زمان و تمامیت مسافت مواجه است. این سه از آنرو که پیوستارند، 1ـ جدای از هم نیستند (از حیث وجود خارجی متحد و از حیث ماهیت مستقلند)، 2ـ مطابقت جزء با جزء ندارند بلکه کلشان با کلشان منطبقند، (چنین نیست که این مقطع از حرکت با این مقطع از مسافت و زمان منطبق باشد، چون در این صورت در هر یک از سه، تتالی آنات لازم می‌آید)؛ 3ـ پیمایش حدود زمان و مسافت بدور از طفره خواهد بود.
از آنچه گفته شد همچنین نتيجه ميشود كه اگر ـ‌بفرض محال‌ـ حدود مسافت بالفعل و گسسته باشند یا بازه‌های زمان نیز از آنات بیشمار تشکیل شده باشد، باز هم متحرّک با نفس حرکت ـ‌که با زمان و مسافت یک پیوستارند‌ـ همة حدود بیشمار را درمینوردد، و اگر این سه، پیوسته و متوالی باشند ـ‌چنانکه پیوسته‌های خطی چنینند‌ـ استیفا و پیمایش حدود تصوّرپذیر است.
پي‌نوشت
[1] . دانشجوی دکتری رشته فلسفة اسلامی، دانشگاه باقرالعلوم، قم، ایران (نویسنده مسئول)؛
seyyedsadin@gmail.com
[2] . استاد معقول و منقول حوزه علمیه، قم، ایران.
تاریخ دریافت: 10/2/1401 تاریخ پذيرش: 21/4/1401 نوع مقاله: پژوهشي
منابع
آزبورن، کاترین (1389) فلسفۀ پیش سقراطی، ترجمه گلناز صالح کریمی، تهران: ماهی.
ابن‌باجه، محمدبن یحیی (1991م) شرح السماع الطبیعی، تحقيق ماجد فخری، بیروت: دارالنهار.
ارسطو (1378) سماع طبیعی (فیزیک)، ترجمه حسن لطفی، تهران: طرح نو.
ـــــــــــــ (2007م) الطبیعة، ترجمه اسحق بن حنین، محقق عبدالرحمن بدوی، قاهره: المرکز القوی للترجمة.
بغدادی، ابوالبرکات (1373) المعتبر فی الحکمة، اصفهان: دانشگاه اصفهان.
خامنه‌ای، سیدمحمد (1378) مقدمه بر المظاهر الالهیة، تهران: بنیاد حکمت اسلامي صدرا.
خراسانی، شرف‌الدین (1350) نخستین فیلسوفان یونانی، تهران: شرکت سهامی کتابهای جیبی.
راسل، برتراند (1388) تاریخ فلسفه غرب، ترجمه نجف دریابندری، نشر الکترونیکی.
زمخشری، محمودبن عمر (1386) مقدمة الادب، بهمت مهدی محقق، تهران: دانشگاه تهران.
طوسي، نصيرالدين (1433ق) تجريدالاعتقاد، بهمراه شرح علامه حلي، تحقيق حسن حسن‌زاده آملي، قم: نشر اسلامي.
عابدی شاهرودی، علی (1374) «حرکت و مسافت»، کیهان اندیشه، شمارة 64 ، ص88ـ 74.
فراهیدی، خلیل بن احمد (1425ق) ترتیب کتاب العین، تحقیق مهدی مخزومی و ابراهیم سامرایی، قم: اسوه.
کاپلستون، فردریک چارلز (1396) تاریخ فلسفه، ج1، ترجمه سیدجلال‌الدین مجتبوی، تهران: علمی و فرهنگی.
کانت، ایمانوئل (1388) سنجش خرد ناب، ترجمة میرشمس‌الدین ادیب سلطانی، تهران: امیرکبیر.
ـــــــــــــ (1389) نقد عقل محض، ترجمه بهروز نظری، کرمانشاه: باغ نی.
کرشنزو، لوچانو. د. (1377) فیلسوفان بزرگ یونان باستان، ترجمة عباس باقری، تهران: نی.
لاهیجی، عبدالرزاق (1388) شوارق الإلهام فی شرح تجرید الکلام، تحقیق اکبر اسدعلی‌زاده، قم: مؤسسة الإمام الصادق(ع).
ـــــــــــــ (1391) الکلمة الطیبة، تحقیق حمید عطایی نظری، تهران: مؤسسة حكمت و فلسفة ایران.
مصباح یزدی، محمدتقی (1370) آموزش فلسفه، تهران: سازمان تبلیغات اسلامی.
مطهری، مرتضی (1373) مقالات فلسفی، در مجموعۀ آثار، ج13، تهران: صدرا.
هالینگ دیل، ر.ج. (1375) مبانی و تاریخ فلسفه غرب، ترجمه عبدالحسین آذرنگ، تهران: کیهان.
[1] . معادلها بر اساس ترجمة بهروز نظری: ناموسان پیکاری خرد ناب=حکم جدلی‌الطرفین عقل محض؛ مینو= ایده؛ دویچمگویانه= دیالکتیک، جدلی؛ فرانمود= توهم (كانت، 1389: 549).